-
Határozott integrál kiszámítása
Ezen fejezetben a határozott integrál értékének kiszámításának a
módszerét nézzük.
Newton-Leibniz tétel
Legyen $f$ folytonos az $[a,b]$-n, és $F$ az $f$ primitív
függvénye az $[a,b]$-n. Az $f$
függvény $[a,b]$ intervallumon vett határozott integráljának
$$\int \limits_a^b f(x) dx$$
kiszámításához vegyük az $[a,b]$ intervallum egy felosztását
$$ x_0=a<x_1<\ldots<x_{n-1}<x_n=b.$$
Ekkor nyilván
$$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1})).$$
Mivel $F$ az $f$ primitív függvénye, ezért teljesülnek a feltételek,
tehát alkalmazhatjuk minden $[x_{i-1},x_i]$ intervallumon a
Lagrange-féle középértéktételt
$$F(b)-F(a)=\sum_{i=1}^n(F(x_i)-F(x_{i-1}))=\sum_{i=1}^nF'(c_i)(x_i-x_{i-1})=\sum_{i=1}^nf(c_i)(x_i-x_{i-1}),$$
ahol $c_i\in(x_{i-1},x_i)$. A $\sum_{i=1}^nf(c_i)(x_i-x_{i-1})$ összeg
pedig pontosan az $\int \limits_a^b f(x) dx$ határozott integrál
közelítő összege, ami a beosztás finomításával tart az $\int
\limits_a^b f(x) dx$-hoz.
Tétel.(NL)
Ha $f$ folytonos $[a,b]$-n, és
$F$ az $f$ primitív függvénye az $[a,b]$-n, akkor
$$\int \limits_{a}^b f(x)
dx=F(b)-F(a).$$
Megoldott feladatok:
- Az $\int\limits_{0}^{2} e^{x+2}+\frac{1}{1+(5x+1)} dx$
határozott integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int\limits_{2}^{3} \frac{e^{3x}}{e^{3x}+1} dx$
integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int\limits_{0}^{3} \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} dx$
határozott integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int\limits_{1}^{4} x^2\sqrt{6x^3+4} dx$ integrál
kiszámítása itt
tekinthető meg!
- Az $\int\limits_{1}^{4} x ln(x) dx$ integrál kiszámítása itt
tekinthető meg!
Segédanyagok