Határozatlan integrál kiszámítása I.



Ezen fejezetben néhány integrálási módszert tekintünk át, melyeket valamely deriválási szabályt tekintve kapunk meg.

Összetett függvény deriváltja, mint integrandus

Először tekintsük az összetett függvény deriválási szabályát:
$$(f(g(x)))'= f'(g(x))\cdot  g'(x).$$
Mindkét oldalt integrálva:
$$f(g(x))= \int f'(g(x)) \cdot g'(x) dx,$$
majd átrendezve kapjuk az alábbi tételt:

Tétel:
Ha  a $f'(y)$ függvény az $f(y)$ deriváltja, akkor bármely olyan differenciálható $g(x)$ függvény esetén, amelyre $f'(g(x))$ értelmezve van egy  intervallumon
$$\int f'(g(x))g'(x) dx= f(g(x))+c.$$

A következőkben néhány speciális esetre alkalmazzuk a fenti tételt:
$f(y)$
 $g(x)$
 formula
tetszőleges
 $ax+b$
 $\int f(ax+b) dx= \frac{F(ax+b)}{a}+c$
$1/y$
 tetszőleges
 $\int \frac{g'(x)}{g(x)} dx=ln |g(x)| +c$
$y^n$
 tetszőleges $\int g'(x)g^n(x) dx=\frac{(g(x))^{n+1}}{n+1} +c ,\ n\not=-1$



Megoldott feladatok:

  1. Az $\int \sin (2x+\pi) dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  2. Az $\int \frac{1}{1+(5x+1)^2} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  3. Az $\int \frac{1}{x^2+2x+2} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  4. Az $\int \frac{1}{\cos^2(3x+\pi)} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  5. Az $\int \frac{2x}{x^2+1} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  6. Az $\int \frac{x+1}{x^2+2x-1} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  7. Az $\int tg(x) dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  8. Az $\int \frac{e^{3x}}{e^{3x}+1} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  9. Az $\int x^2\sqrt{6x^3+4} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  10. Az $\int \frac{2x}{\sqrt[3]{x^2+1}} dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

  11. Az $\int \sin(x)\cos^3(x) dx$ határozatlan integrál kiszámítása itt tekinthető meg!

Segédanyagok

Vissza az előző oldalra