Közönséges elsőrendű differenciálegyenletek



Legyen adva egy egyváltozós függvény. Ezt $y(x)$-szel vagy egyszerűen csak $y$-nal jelöljük.(Korábban megszokott $f(x)$ helyett.) Közönséges differenciálegyenletnek nevezzük, azt az egyenletet, amelyben konstansok, az$x$ független változó valamint az $x$-től függő $y(x)$ függvény és ennek $y'(x)$, $y''(x)$, stb. deriváltjai szerepelnek.
Példaként tekintsük a
$$(y^2-xy)+x^2 y'=0$$
és a
$$y'-3 x^2 y=(1-2x) e^{x^3}$$
differenciálegyenleteket.

Elsőrendűnek nevezünk egy közönséges differenciálegyenletet, ha az $y(x)$ függvény deriváltjai közül csak $y'(x)$ fordul elő a differenciálegyenletben.

Szétválasztható változójú differenciálegyenletek

Az $$y'(x) = f(x)g(y(x))$$ alakú elsőrendű differenciálegyenleteket szétválasztható változójú differenciálegyenletnek nevezzük, melyek megoldása

$$\int \frac{1}{g(y(x))}y'(x) dx=\int f(x) dx$$
alapján
$$\int \frac{1}{g(y)} dy=\int f(x) dx$$
történik.

Megoldott feladatok:

  1. Az $y'=x^3+e^x$ szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!

  2. Az $y'=y^3$ szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!

  3. Az $(1+x^2)y'y^2=1$ szétválasztható változójú differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!


Szétválasztható változójúra visszavezethető differenciálegyenletek

I. Típus: Az $y'=f(x,y)$ alakú differenciálegyenletet homogén fokszámúnak nevezzük, ha $f(x,y)$ kifejezésben az $x$, illetve $y$ helyére $\lambda x$-et, illetve $\lambda y$-t írva, $\lambda $ valamely hatványát kiemelve az eredeti kifejezést kapjuk. A fokszám megegyezik $\lambda $ kitevőjével.}

A differenciálegyenlet megoldása során az $u=\frac{y}{x}$ helyettesítést alkalmazva:
$$ y=u x $$
$$ y'=u+u'x$$

Megoldott feladatok:

  1. Az $y^2-xy+x^2y'=0$ homogén fokszámú differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!


II. Típus: Az $y'=f(ax+by+c)$ alakú differenciálegyenleteket a $$t=ax+by+c$$ helyettesítést alkalmazva oldjuk meg. Ezt deriválva
$t'=a+by'$, melyből $y'$ kifejezhető:
$$y'=\frac{t'-a}{b}.$$


Megoldott feladatok:

  1. Az $y'=(8x+2y+1)^2$ differenciálegyenlet megoldása itt tekinthető meg!

Nyomtatható tananyagok


Vissza az előző oldalra