-
Kétváltozós függvények integrálása
Adott síktartományon, kétváltozós függvény által meghatározott
felület alatti test térfogatának meghatározása.
Kétváltozós függvény
integrálása téglalap tartományon
Legyen az $f$ kétváltozós függvény értelmezve $D\subseteq
\mathbb{R}^2$ halmazon. Vegyünk először egy speciális, téglalap alakú
síkbeli tartományt $D$-ben:
$$
T=\{(x,y): \ a\leq x\leq b,\ c\leq y\leq d\}\subseteq D.
$$
A $T$ téglalap speciálissága abban van, hogy oldalai párhuzamosak
a koordinátatengelyekkel. Ezután vegyük a $T$ tartománynak a
koordinátatengelyekkel párhuzamos egyenesekkel $n$ darab kis téglalapra
való felosztását. Egy a felosztásbeli $\Delta x$ és $\Delta y$
oldalhosszúságú kis téglalap területe
$$\Delta A=\Delta x \cdot \Delta y.$$ Jelölje $\Delta A_k$ a $k$-adik
kis téglalap területét.
A $T$ tartomány feletti integrálközelítő
összeget úgy képezzük, hogy a $k$-adik kis téglalapbeli
$(x_k,y_k)$ pontban vesszük az $f$ függvény helyettesítési értékét és
ezt megszorozzuk a kis tartomány $\Delta A_k$ területével, majd az így
kapott szorzatokat összeadjuk:
$$
S_n =\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k) \Delta A_k.
$$
Ez az összeg is egy Riemann-összeg.
Vegyük a $T$ tartomány valamely felosztásainak egy sorozatát. Azt
mondjuk, hogy a felosztássorozat minden
határon túl finomodó,
ha $n\rightarrow \infty $ esetén az összes kis téglalap szélessége és
magassága is nullához tart.
Az $f$ korlátos függvényt a $T$ téglalaptartományon
integrálhatónak nevezzük, ha
bármely minden határon túl finomodó felosztássorozat esetén
\[
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n
f(x_k,y_k) \Delta A_k.
\]
határérték létezik. Ez a határérték az $f$ kettős integrálja a $T$ tartományon
\[
\lim_{n\to \infty} S_n = \iint\limits_T f(x,y) dxdy.
\]
Tétel.(Fubini
tétele téglalap tartományra.)
Ha $f(x ,y)$ folytonos a $T: a\leq
x\leq b,\ c\leq y\leq d$ zárt téglalaptartományon,
akkor
$$
\iint\limits_T f(x,y) dxdy =\int \limits_a^b \int \limits_c^d f(x ,y)
dydx=\int\limits_c^d \int \limits_a^b f(x ,y) dxdy.
$$
Megoldott
feladatok:
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott
integrálját! $$\int \limits_0^2 \int \limits_1^3 (3x^2+2y
) dxdy$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott
integrálját! $$\int \limits_0^1 \int \limits_0^1 \frac{x^2-1}{1+y}
dxdy$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
Kétváltozós
függvény integrálása normál tartományon
Legyen $T$ egy olyan korlátos tartomány, amelynek van területe, de
nem feltétlenül téglalap alakú. A tengelyekkel párhuzamos egyenesekkel
kis téglalapokat képezünk ezen $T$ taromány esetében is úgy, hogy
ezekkel teljesen lefedjük a $T$ tartományt. $T$ -nek egy felosztását azok a téglalapok
alkotják, amelyek teljes egészében a tartományhoz tartoznak, nem
tekintjük azokat, amelyekben vannak a tartományhoz nem tartozó pontok
is.
A téglalap alakú tartományokhoz hasonlóan jelölje $n$ a kis téglalapok
számát és $\Delta A_k$ a $k$-adik téglalap területét, $(x_k,y_k)$
a $k$-adik téglalap egy pontját. Képezzük az
$$
S_n =\sum_{k=1}^n f(x_k,y_k) \Delta A_k
$$
integrálközelítő összeget.
Szintén a téglalap alakú tartományokhoz hasonlóan azt mondjuk, hogy a felosztássorozat minden határon túl finomodó,
ha $n\rightarrow \infty $ esetén
az összes kis téglalap szélessége és magassága is nullához tart.
Az $f$ korlátos függvényt a $T$ téglalaptartományon
integrálhatónak nevezzük, ha bármely minden határon túl finomodó
felosztássorozat esetén
\[
\lim_{n\rightarrow \infty} S_n=\lim_{n\rightarrow \infty} \sum_{k=1}^n
f(x_k,y_k) \Delta A_k.
\]
határérték létezik. Ez a határérték az $f$ kettős integrálja a $T$ tartományon
\[
\lim_{n\to \infty} S_n = \iint\limits_T f(x,y) dxdy.
\]
Tétel.(Fubini
tétele normál tartományon.)
Legyen f folytonos függvény a T
tartományon. Ha T az $a\leq x\leq b$, $g_1(x)\leq y\leq g_2(x)$
egyenlőtlenségekkel van megadva,
ahol $g_1(x)$, $g_2(x)$ folytonos
függvények, akkor
$$\iint\limits_T f(x,y) dxdy = \int\limits_a^b
\int\limits_{g_1(x)}^{g_2(x)} f(x,y) dydx$$
Tétel.(Fubini
tétele normál tartományon.)
Legyen f folytonos függvény a T
tartományon. Ha T az $c\leq y\leq d$, $h_1(y)\leq y\leq h_2(y)$
egyenlőtlenségekkel van megadva,
ahol $h_1(y)$, $h_2(y)$ folytonos
függvények, akkor
$$\iint\limits_T f(x,y) dxdy = \int\limits_c^d
\int\limits_{h_1(y)}^{h_2(y)} f(x,y) dxdy$$
Megoldott
feladatok:
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=x^2-y,\qquad T=\{(x,y): y\leq x\leq 2; \ 1\leq
y\leq 2\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=\frac{1}{1-x^2},\qquad T=\{(x,y): 1\leq x\leq 2;
\ 1\leq y\leq 2x\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=\sqrt{2+y},\qquad T=\{(x,y): y\leq x\leq 2; \
0\leq y\leq 2\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=\frac{1}{1+x^2},\qquad T=\{(x,y): 0\leq x\leq y;
\ 1\leq y\leq 2\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény
adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=xy,\qquad T=\{(x,y): 1\leq x\leq 2; \ 0\leq
y\leq\sqrt{4x-x^2}\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=\frac{1}{x+y},\qquad T=\{(x,y): -1\leq x\leq 2; \
-x+2\leq y\leq 3\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Határozzuk meg az alábbi kétváltozós függvény adott $T$
tartomány feletti
integrálját! $$f(x,y)=10x\sqrt{y-4},\qquad T=\{(x,y): 0\leq x\leq y; \
4\leq y\leq 5\}$$ A
megoldás itt
tekinthető meg!
Segédanyagok
- előadás
- példatár
- gyakorló feladatok, megoldás