-
Kétváltozós függvények vizsgálata II.
Kétváltozós függvény
elsőrendű parciális deriváltjai
Tekintsük az $f$ függvény $z = f (x,y)$ geometriai szemléltetését
a térben. Ha $(x_0,y_0)$ egy pont az $f(x,y)$ függvény értelmezési
tartományában, akkor az $y = y_0$ függőleges sík (azaz az
$xy$-koordinátasíkra merőleges sík), a $z = f(x ,y )$ felületet a $z =
f(x ,y_0)$ görbében metszi. Ez a görbe a $z = f(x,y_0)$ függvény
grafikonja az $y = y_0$ síkban. A vízszintes koordináta ebben a síkban
$x$, a függőleges koordináta $z$. Mivel $y$ konstans értékű, $y$ nem
változó.
Az $f$ függvény $x$ szerinti
parciális deriváltját az $(x_0 ,y_0)$ pontban úgy definiáljuk,
mint $f(x ,y_0)$ $x$ szerinti közönséges deriváltját. Hogy
megkülönböztessük a parciális deriváltat a közönséges deriválttól, a
$\mathrm{d}$ szimbólum helyett a $\partial$ szimbólumot használjuk.
Legyen $f(x ,y)$ függvény értelmezve az $(x_0 ,y_0)$ pont valamely
környezetében. Az $f(x ,y)$ függvény $x$ szerinti parciális deriváltja az
$(x_0 ,y_0)$ pontban
$$ f'_x(x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0+h,y_0) - f(x_0,y_0)}{h} $$
feltéve, hogy ez a határérték létezik. Az $x$ szerinti parciális
deriváltra egy ekvivalens jelölés:
$$ \frac{\partial f}{\partial x}(x_0,y_0)$$
Az $f(x ,y)$ függvény parciális deriváltja $y$ szerint az $(x_0
,y_0)$ pontban hasonló módon definiálható, mint az $x$ szerinti. Most
$x$-et tartjuk az $x_0$ konstans értéken, és az $f(x_0 ,y)$ függvény
$y$ szerinti közönséges deriváltját számítjuk.
Az $f(x ,y)$ függvény $y$ szerinti
parciális deriváltja az $(x_0 ,y_0)$ pontban
$$ f'_y (x_0,y_0) = \lim_{h\to 0} \frac{f(x_0,y_0+h) - f(x_0,y_0)}{h} $$
feltéve, hogy ez a határérték létezik. Az $y$ szerinti parciális
deriváltra egy ekvivalens jelölés:
$$
\frac{\partial f}{\partial y}(x_0,y_0)
$$
Ha minden $(x_0,y_0)$ pontban megadtuk a parciális deriváltakat, akkor
ugyanúgy, mint az egyváltozós esetben $x$, illetve $y$ szerinti
parciális derivált függvényt adtuk meg.
Megoldott
feladatok:
- Tekintse az $f(x ,y) =4x^3-3x^2y^2+2x+5y$ hozzárendelési
szabállyal megadott függvényt. Számítsa ki az elsőrendű parciális
deriváltjait, majd azok helyettesítési értékét az $A(1,1)$ pontban! A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Tekintse az $f(x ,y) =2x^3+3x^2y-2y^2$ hozzárendelési
szabállyal megadott függvényt. Számítsa ki az elsőrendű parciális
deriváltjait! A
megoldás itt
tekinthető meg!
- Tekintse az $f(x ,y) =\sqrt{10-y^2+x}$ hozzárendelési
szabállyal megadott függvényt. Számítsa ki az elsőrendű parciális
deriváltjait! A megoldás itt
tekinthető meg!
Kétváltozós függvény
másodrendű parciális deriváltjai
A definiáló egyenlőségek:
$$
f''_{xx}=(f'_{x})'_x, f''_{xy}=(f'_{x})'_y, f''_{yx}=(f'_{y})'_x,
f''_{yy}=(f'_{y})'_y.
$$
Tétel:
Ha $f(x ,y)$ és parciális deriváltjai
$f'_x, f'_y, f''_{xy}$ és $f''_{yx}$ léteznek egy olyan nyílt
tartományon, ami tartalmazza az $(a,b)$ pontot, és valamennyi folytonos
az $(a,b)$ pontban, akkor
$$
f''_{xy}(a,b) = f''_{yx}(a,b).
$$
Feladatok:
- Számítsa ki az alábbi hozzárendelési szabállyal
megadott függvény másodrendű parciális deriváltjait is!
$$f(x ,y) =4x^3-3x^2y^2+2x+5y$$
- Számítsa ki az alábbi hozzárendelési
szabállyal megadott függvény másodrendű parciális deriváltjait is!
$$f(x ,y) =\sqrt{10-y^2+x}$$
Segédanyagok
- előadás
- példatár
- gyakorló feladatok, megoldás