Határozatlan integrál



Legyen  $f(x)$ az $[a,b]$ intervallumon definiált korlátos függvény. A most következő vizsgálataink során általánosan fogalmazva olyan  $F$ az $[a,b]$-n értelmezett függvényt keresünk, melynek deriváltja $f$. Amennyiben létezik ilyen $F$ függvény, azt a $f$  primitivfüggvényének hívni.

Definíció. Egy $F(x)$ függvényt az $f(x)$ egy primitív függvényének nevezzük az $I$  intervallumon,
 ha $F' (x) = f (x )$  minden $x \in I$ esetén.

Az $F(x) = x^2$ nem az egyetlen olyan függvény, amelynek deriváltja $2x$. Az $x^2 + 1$ függvénynek is $2x$ a deriváltja, valamint az összes $x^2 + C$ függvénynek is, ahol $C$ egy konstans (valós szám). Sőt $F(x) = x^2+C$ alakú a $2x$ függvény összes primitívfüggvénye.

Tétel. Egy függvény primitív függvényei csak konstansban különbözhetnek, azaz ha $F(x)$ és $G(x)$ az $f(x)$ két primitív függvénye
az $I$ intervallumon, akkor létezik $C$ konstans, hogy $F(x)=G(x)+C$ minden $x\in I$-re.

Az $f(x)$ függvény primitív függvényeinek összességére speciális jelölést vezetünk be.

Definíció. Az $f(x)$ függvény összes primitív függvényének halmazát az $f(x)$ függvény $x$ szerinti határozatlan integráljának nevezzük, jelölése:
$$ \int f(x) \mathrm{d}x.$$
A $\int$ jel az integráljel. Az $f(x)$ függvény az integrál integrandusa, $x$ az integrál változója.
 

Alapintegrálok
$$f(x)$$ $$\int f(x) \mathrm{d}x$$
$$f(x)$$ $$\int f(x) \mathrm{d}x$$
$$f(x)$$ $$\int f(x) \mathrm{d}x $$
$c$
 $cx$
$\sin x$
$-\cos x$
$\frac{1}{\sqrt {1- x^2}}$ $\arcsin x$
$x^n$ ($n\neq -1$)
 $\frac{x^{n+1}}{n+1}$
$\cos x$
 $\sin x$
$\frac{1}{1+x^2}$ ${\rm arctg }\ x$
$\frac{1}{x}$
 $\ln |x|$
$\frac{1}{\cos^2 x}$
 ${\rm tg }\ x$


$e^x$
 $e^x$
$\frac{1}{\sin^2 x}$ $-{\rm ctg }\ x$


$a^x$
 $\frac{a^x}{\ln a}$







Integrálási szabályok

A konstansszoros és összegfüggvény differenciálási szabályainak egyszerű alkalmazásával adódik az alábbi két fontos szabály.

Tétel. Ha az $f(x)$ és $g(x)$ függvényeknek léteznek primitív függvényei, valamint $c\in \mathbb{R}$ tetszőleges konstans,
akkor az  $f(x)\pm g(x)$ és a $cf(x)$ függvényeknek is léteznek primitív függvényei, mégpedig
$$\int cf(x) \mathrm{d}x =c \int f(x) \mathrm{d}x,$$

$$\int f(x)\pm g(x) \mathrm{d}x= \int f(x) \mathrm{d}x \pm \int g(x) \mathrm{d}x.$$

Megoldott feladatok:

  1. Számítsa ki az $f(x)=3e^x$ függvény határozatlan integrálját!

  2. Számítsa ki az $f(x)=x^4+5x^3-7x+6$ függvény határozatlan integrálját!

  3. Számítsa ki az $f(x)=\frac{x^2+2x+3}{\sqrt{x}}$ függvény határozatlan integrálját!

  4. Számítsa ki az $f(x)=\frac{3+x^2}{1+x^2}$ függvény határozatlan integrálját!

  5. Számítsa ki az $f(x)=\frac{3}{x}+5^{x-1}-\frac{2\sin^3 x}{1-\cos^2 x}$ függvény határozatlan integrálját!

 

Segédanyagok


Vissza az előző oldalra